Ableitung von ex: Schritt-für-Schritt-Beweis und Beispiele

Dieses Tutorial stellt die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion \( e^x \) mithilfe der Grenzwertdefinition vor. Wir behandeln auch die Ableitung zusammengesetzter Exponentialfunktionen der Form \( e^{u(x)} \), einschließlich detaillierter Beispiele und Lösungen.

1. Beweis der Ableitung von ex mithilfe der Grenzwertdefinition

Die Definition der Ableitung einer Funktion \( f(x) \) ist:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Sei \( f(x) = e^x \). Dann:

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} \quad \text{(unter Verwendung von } e^{x+h} = e^x e^h \text{)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h} \\ &= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \end{aligned} \]

Wir berechnen nun den Grenzwert \( \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \). Sei \( y = e^h - 1 \), so dass \( \lim_{h \to 0} y = 0 \). Dann:

\[ e^h = y + 1 \implies h = \ln(y + 1) \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln(y+1)} \] \[ = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{1}{y} \ln(y+1)} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\ln((y+1)^{1/y})} \]

Unter Verwendung der Definition der Eulerschen Zahl \( e \):

\[ e = \lim_{m \to 0} (1 + m)^{1/m} \implies \lim_{y \to 0} (y+1)^{1/y} = e \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \frac{1}{\ln e} = 1 \] \[ \boxed{f'(x) = e^x} \]

Schlussfolgerung: Jede Funktion der Form \( f(x) = k e^x \), wobei \( k \) eine Konstante ist, hat dieselbe Ableitung multipliziert mit \( k \).

2. Ableitung der zusammengesetzten Funktion y = eu(x)

Für eine Funktion \( u(x) \) verwenden wir die Kettenregel:

\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = \frac{d}{du} e^{u} \cdot \frac{du}{dx} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \] \[ \boxed{\frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \frac{du}{dx}} \]

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitungen von:

  1. \( f(x) = e^{x^3 - 2x + 3} \)
  2. \( g(x) = e^{\sqrt{x^2 + 1}} \)
  3. \( h(x) = e^{\frac{x}{x-2}} \)

Lösung

  1. \[ u(x) = x^3 - 2x + 3 \implies \frac{du}{dx} = 3x^2 - 2 \] \[ \frac{d}{dx} f(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = (3x^2 - 2) e^{x^3 - 2x + 3} \]
  2. \[ u(x) = \sqrt{x^2 + 1} \implies \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ \frac{d}{dx} g(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, e^{\sqrt{x^2 + 1}} \]
  3. \[ u(x) = \frac{x}{x-2} \implies \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \] \[ \frac{d}{dx} h(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \, e^{\frac{x}{x-2}} \]

3. Zusätzliche Referenzen